\quad\text{et}\quad Enfin si l’on intègre la relation précédente au cours du temps, sachant que \(\overline{x\dot x} = 1/2\mathrm{d}(\overline{x^2})/\mathrm{d}t\) et en supposant \(\overline{x^2}(0) = 0\), on trouve. -\iiint_{\mathcal{V}}\text{div}\overrightarrow{\jmath_{n}}\;\text{d}x\text{d}y\text{d}z \] de telle sorte que \qquad\text{avec}\qquad Dans un liquide, la densité comme le libre parcours moyen sont quasi indépendants de la pression et de la température. Notre raisonnement s’inscrit donc dans le cadre du modèle continu des particules au point M à l’instant \(t\) et \(\overrightarrow{\text{d}S}\) l’élément de surface au voisinage de M, alors les particules qui traversent la section \(\text{d}S\) pendant \(\text{d}t\) se trouvent dans un prisme de base \(\text{d}S\) et dont les génératrices sont parallèles à \(\overrightarrow{v}\) et de longueur \(v\;\text{d}t\). Le vecteur densité de courant de particules \(\overrightarrow{\jmath_{n}}\), est orienté dans le sens du courant de particules. ment on arrive à établir les équations de di usion et de transport qui sont les principaux objets mathématiques étudiés dans ce cours. La concentration c en particules dans l ’axone vérifie ( = 0) = 0. 3) Cette équation, étant non invariante par renversement du temps, est irréversible. Calcul de la fonction de partition électronique. Dans l’air nous avons vu que pour de petites molécules, \(\ell\sim 2.10^{-7}\;\mathrm{m}\) et \(\nu_c\sim 2.10^{9}\;\mathrm{Hz}\). \text{div}\overrightarrow{\jmath_{n}}+\frac{\partial n}{\partial t} &=& 0 3. \[m\frac{\mathrm{d}\overline{x\dot x}}{\mathrm{d}t}=\frac{RT}{\mathcal{N}_a}-6\pi\eta\,a \,\overline{x\dot x}\] \[ 100 0 obj <> endobj 55 0 obj <>stream Einstein, Smoluchowski et Sutherland ont eu le mérite d’en faire la théorie à partir d’arguments thermodynamiques et cinétiques ce qui permit ensuite à Jean Perrin d’établir par ses expériences la réalité des atomes. La fonction s(x,y,t)est la source. En l'absence d'un mécanisme de création ou disparition de particules, l'équation locale de conservation de la matière (appelée aussi équation de continuité) s'écrit \frac{\partialp}{\partialt}+div\overrightarrowj=0, où \rho(M) est la densité volumique de molécules (voir également les rappels de mécanique des fluides). L’aire \(\sigma\) est appelée section efficace de collision. chocs sont nombreux et les transports diffusifs efficaces (diffusion de particules, de la chaleur, de la quantité de mouvement). \quad\text{avec}\quad On a Or pour un nombre important de particules cette probabilité est proportionnelle à la densité de particules. Et alors ? … Débit de particules – Vecteur densité de courant associé 2. \frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}\] 1.1.1 Établissement de l'équation de di usion On veut étudier l'évolution d'une population de particules dans un milieu matériel, comme par exemple des neutrons dans un c÷ur de réacteur nucléaire. 3. \[\left\{ \[\overrightarrow{F}=-\alpha\overrightarrow{v}+\overrightarrow{f}(t)\] Le coefficient de diffusion \(D\) s’exprime en \(\mathrm{m^{2}s^{-1}}\). Ce type de processus stochastique donne naissance à l’échelle macroscopique à un phénomène de diffusion. PSI* Champollion 1 Diffusion de particules DIFFUSION DE PARTICULES Diffusion de gouttes de colorant rouge ou bleu dans de l’eau chaude ou froide au bout de 1 ; 9 et 18 s La diffusion est un phénomène de transport de partiules sans mouvement d’ensem le : il implique une inhomogénéité de concentration du milieu, L'équation de diffusion est une équation aux dérivées partielles.En physique, elle décrit le comportement du déplacement collectif de particules (molécules, atomes, photons. \[\frac{\text{d}N}{\text{d}t}(t)=\iiint_{\mathcal{V}}\frac{\partial n}{\partial t}\;\text{d}x\text{d}y\text{d}z\] Délimitons, par la pensée, un volume \(\mathcal{V}\) fixe et indéformable puis notons \(N(t)\) le nombre de particules au sein de ce volume, à l’instant \(t\). On suppose, pour simplifier, que les particules (atomes, molécules, ions) ont toutes leurs vitesses dirigées parallèlement à un axe Ox. Il s’agit ici d’une moyenne temporelle. Equation de conservation locale de particules (3D) div −→ j + ∂n ∂t = 0 Sans perte ni création de matière L. Menguy, PSI*, Lycée Montesquieu, Le Mans Diffusion de particules. 1 Problème physique: convection dans un fluide. \ell=\frac{k_{B}T}{\sqrt{2}\sigma \overline{p}}\] Nous proposons deux approches différentes. Si l’on se souvient que la durée de chaque déplacement vaut \(\tau\), à l’instant \(t\) chaque particule aura subit \(N=t/\tau\) collisions. Nous proposons de calculer le libre parcours moyen dans un gaz à partir d’un modèle simpliste : le modèle des sphères dures. \[D=\frac16\frac{\ell^2}{\tau}\], Le coefficient de diffusion d'une particule dans un fluide dépend directement du libre parcours moyen et de la durée entre deux collisions. Le déplacement issu de la \(k\)-ème collision est une quantité aléatoire mais de norme constante que l’on note \(\ell\) : \[m\frac{\mathrm{d}\overline{x\dot x}}{\mathrm{d}t}=m\overline{v^2}-6\pi\eta\,a \,\overline{x\dot x}+\overline{xf_x(t)}\] ���Ԅ�p��޵Kߪ���P_�|�2>�i\���c��k�TL[bv=�F�W|�Q��JJ�F6D�0�B�A��}y�A������=�C�dcηa���>�h�׌HA�.�����1"Q�� b@��VL���Y`�?��)"��"J� Le mouvement Brownien fut découvert en 1827 par le botaniste anglais R. Brown. La vitesse d’étalement diminue au cours du temps. On a donc Ainsi, ce nombre varie au cours du temps via Il y aura collision si \(b<2r\). \frac{\partial n(x,t)}{\partial t}=D\frac{\partial^{2}n(x,t)}{\partial x^{2}}\] En réalité la convection accélère le phénomène. Bilan de particules : équation de conservation 2.2. On s'intéresse à l'équation de diffusion (ou équation de la chaleur) à deux dimensions en coordonnées cartésiennes. En déduire l'équation de la diffusion : 2 Ë=D----â 2 . \sigma=\pi (r_1+r_2)^2 On peut relier le vecteur densité de courant de particules \(\overrightarrow{\jmath_{n}}\) au mouvement d’ensemble de ces particules. On peut montrer que la viscosité est une propriété macroscopique indépendante de la nature continue ou discontinue de la matière. Dans ce cas, l’équation de diffusion devient \[\triangle n=0\] La densité de particules \(n(x,y,z)\) vérifie alors l’équation de Laplace. Les atomes sont représentés par des sphères indéformables de rayon \(r\) dont la distribution des vitesses est donnée par la loi de Maxwell-Boltzmann. Un coefficient de diffusion est une grandeur caractéristique du phénomène de diffusion de la matière. Considérons un milieu unidimensionnel dont la densité de particules varie avec \(x\). Blog de Physique : De Bac -1 à Bac +1. Par exemple dans le cadre du modèle des sphères dures, les molécules d’un gaz possèdent un libre parcours moyen qui varie comme \(T/\overline{p}\) et une vitesse moyenne qui croit \(\sqrt{T}\) de sorte que \(D\) varie comme \(T\sqrt{T}/\overline{p}\). En mathématiques, il est applicable en commun à un sujet pertinent au Il apparaît alors des phénomènes de transport, qui tendent à rétablir l’équilibre. Si l’on note \((x_k, y_k)\) les coordonnées du point après \(k\) déplacements, alors le (\(k\)+1)-ème pas est tel que : \[\begin{array}{rcl} Analogies avec d’autres phénomènes de transport Lois de la diffusion 2.1. En régime stationnaire, la densité moléculaire ne dépend plus du temps : \(\partial n/\partial t=0\). On a donc On retrouve là les hypothèses du modèle continu utilisées en mécanique des fluides. En 1905 Albert Einstein publie dans Annalen der physik un article intitulé "Sur le mouvement de petites particules en suspension dans des liquides au repos requis par la théorie cinétique moléculaire de la chaleur" dans lequel il cherche à tester la théorie cinétique moléculaire de la chaleur sur le mouvement brownien. Appelons \(P(x,y,t)\) la probabilité de trouver la particule en \((x,y)\) à l’instant \(t\). Elle s'écrit, dans le cas d'un problème à une dimension, sous la forme (1). Quand les paramètres intensifs varient dans le milieu d’un point à un autre et/ou au cours du temps, le système est hors équilibre thermodynamique. C’est FickL’énoncé de la loi de Fick, formulé dans le cadre des solutions, remonte à 1855. qui le premier énonça le fait que le courant de matière qui diffuse est proportionnel au gradient de concentration. Loi de diffusion macroscopique simulée avec 1000 particules browniennes (cliquer pour voir/arrêter l'animation). On peut tout a fait interpréter ce qui se passe à l’échelle macroscopique comme le résultat collectif d’un grand nombre de marches aléatoires suivies par les molécules d’encre. Rép. Diffusion de particules. On obtient : \[\overrightarrow{\text{OB}}=\overline{\overrightarrow{\text{OP}_N}}=\sum_{k=1}^N \overline{\overrightarrow{\ell_k}}\] On cherche une solution numérique de cette équation pour une fonction s(x,t)donnée, sur l'intervalle [0,1], à partir de l'instant t=0. Observant au microscope des grains de pollen en suspension dans l’eau, il constata un mouvement permanent et erratique. On fait les hypothèses simplificatrices suivantes : Pour simplifier notre propos limitons nous à un espace à deux dimensions, l’extension à trois dimensions ne posant pas de problème. où \(\overrightarrow{\text{d}S}\) est orienté vers l’extérieur. Finalement, la distance quadratique moyenne vaut La diffusion de particules que nous étudions ici est un exemple de ces phénomènes de transport. D’autre part, si l’on suppose que \(x\) et \(f_x\) ne sont pas corrélés, on a \(\overline{xf_x}=\overline{x}\overline{f_x}=0\). Il n’y a pas de phénomène de transport. \text{div}\overrightarrow{\text{grad}}f=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}=\triangle f Notre raisonnement s’inscrit donc dans le cadre du. \overrightarrow{\jmath_{n}} &=& -D\overrightarrow{\text{grad}}n \\ Pour cela multiplions l’équation différentielle par \(x\) : Finalement, si l’on suppose qu’il n’y a aucun processus de création ou d’annihilation de particules, la conservation de la matière implique Plaçons-nous dans un système unidirectionnel et considérons le flux de particules d’une certaine espèce. Lois de la diffusion 2.1. \[\overline{x^2}=2Dt \qquad\text{avec}\qquad D=\frac{RT}{6\pi\eta a \mathcal{N}_a}\] Le volume balayé par le disque discuté ci-dessus pendant la durée \(t\) vaut \[\mathcal{V}_t=\sigma\sum_i v_{i}\Delta t_i=\sigma \overline{v_r}t\] où \(\overline{v_r}\) désigne la vitesse relative moyenneIl s’agit ici d’une moyenne temporelle. Par un bilan de particules, on établit l'équation de diffusion pour un problème à symétrie cylindrique. neutrons, etc.) On sait d’après la loi de Stokes que \(\alpha=6\pi\eta a\). \iint_{\mathcal{S}}\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{\text{d}S} = Finalement, on aboutit à l’équation de conservation valable dans le cas où il n’y a ni production ni disparition de particules : La diffusion moléculaire est un transport de matière sous l’effet de l’agitation thermique. \[R_N=\sqrt{N\ell^2}\] Bilan de particules : équation de conservation 2.2. Dans un fluide, les collisions inter-moléculaires sont nécessaires pour justifier le processus de thermalisation et tous les phénomènes de diffusion (thermique et moléculaire). On appelle \(b\) le paramètre d’impact, c’est-à-dire la distance entre les deux droites qui portent les vitesses relatives des deux atomes. La solution de cette équation différentielle linéaire s’écrit : En dimension trois, le même raisonnement aboutit à \text{en 1d}\quad R(t)&=&\sqrt{2D\;t} Dans un fluide animé d'un mouvement … \ell=\frac{\overline{v_2}}{n\,\sigma\,\overline{v_{r}}}=\frac{1}{n\sigma}\sqrt{\frac{m_1}{m_1+m_2}} \text{en 3d}\quad R(t)&=&\sqrt{6D\;t}\\ Il serait assez naturel d’exprimer la distance moyenne \(\overline{\text{OP}_N}\) mais le calcul n’est pas simple et il est préférable de calculer la distance quadratique moyenne Dans l’eau, les molécules d’eau possèdent un libre parcours moyen de l’ordre de \(10^{-10}\;\mathrm{m}\) et une vitesse moyenne de l’ordre de \(10^2\;\mathrm{m.s^{-1}}\) d’où \(D\sim 10^{-8}\;\mathrm{m^2.s^{-1}}\). \[\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac12 k_BT=\frac12 \frac{RT}{\mathcal{N}_a}\] De façon formelle, \(\phi\) est le flux du vecteur \(\overrightarrow{\jmath_{n}}\) à travers la surface : La particule saute d’un nœud du réseau à un nœud voisin à une fréquence \(1/\tau\) ceci de façon aléatoire, les quatre directions étant équiprobables (\(p=1/4\)). Cependant, l’hypothèse ergodique suppose que cette moyenne se confond avec la moyenne d’ensemble. \end{array}\] où \(\delta x\) et \(\delta y\) sont des variables aléatoires. Dans les conditions normales de pression et de température (\(T=300\,\mathrm{K}\) et \(\overline{p}=10^{5}\,\mathrm{Pa}\)) et en prenant \(r=10^{-10}\,\mathrm{m}\), on obtient En d’autres termes, le courant de particules tend à rétablir l’uniformité de concentration. Eh bien tout simplement que l’observation de petites sphères en suspension dans un liquide permet, d’une part de prouver la nature discontinue de la matière (le nombre d’Avogadro est fini), et, si l’on connaît la viscosité du liquide ainsi que le diamètre des particules en suspension, d’obtenir la valeur du nombre d’Avogadro. \[ \overrightarrow{\jmath_{n}}=-D\overrightarrow{\text{grad}}n=-D\overrightarrow{\nabla}n \] Loi de comportement qui permet de décrire, dans un certain domaine de validité, un phénomène. La probabilité \(P(x,y,t+\tau)\) est donc donnée par le produit de la probabilité que la particule soit en \((x-\ell,y)\) à l’instant \(t\) et de la probabilité 1/4 que la particule fasse un pas suivant \(\overrightarrow{u_x}\), auquel on ajoute le produit de la probabilité que la particule soit en \((x+\ell,y)\) à l’instant \(t\) par la probabilité 1/4 que la particule fasse un pas suivant \(-\overrightarrow{u_x}\), etc. Les atomes sont représentés par des sphères indéformables de ray… mercredi 7 octobre 2020, par pierre, Version imprimable. Le phénomène est isotrope : on voit clairement que l’étalement ne suit pas une direction particulière mais toutes les directions. Pour établir l'équation de diffusion, on considère un élement de volume et l'on établit l'équation de continuité sur cet élément. \quad\Rightarrow\quad Par définition, \(j_{n}\) désigne le nombre de particules traversant une surface \(\text{d}S\) par unité de temps et par unité de surface. \end{array}\], Il ne s’agit pas de la vitesse des molécules mais bien de la vitesse d’ensemble d’une collection mésoscopique de particules. On trouve où \(\overrightarrow{\text{d}S}\) est le vecteur surface perpendiculaire à l’élément de surface. On montre que la vitesse relative moyenne entre A et B vaut \(\overline{v_r}=\sqrt{\frac{8k_B T}{\pi \mu}}\) avec \(\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\), la masse réduite. En observant au microscope des émulsions de gomme-gutte ou de mastic bien calibrés, il montre la validité de la relation d’Einstein et en prime trouve une valeur du nombre d’Avogadro qu’il estime compris entre \(5,5.10^{23}\) et \(8.10^{23}\) (la valeur tabulée actuelle est de \(\mathcal{N}_a=6,02.10^{23}\;\mathrm{mol.^{-1}}\)). Appelons \(N(t)\) le nombre de particules situées dans le volume cylindrique d’aire \(S\) compris entre \(x\) et \(x+\text{d}x\) et faisons un bilan : \frac{\ell^2}{4\tau}\left(\frac{\partial^2 P}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 P}{\partial y^2}\right)\] \qquad\Longrightarrow\qquad \[ le mouvement de chaque particule est indépendant de celui des autres ; suite aux collisions, les particules changent de direction de façon aléatoire toutes les \(\tau\) secondes ceci indépendamment des directions précédentes (perte de mémoire). Notes de cours: Diffusion & convection; Bilan de particules Vecteur densité de courant de particules; Bilan de particules à une dimension Cas de conservation; Cas général; Bilan de particules à trois dimensions Écriture intégrale; Écriture locale; Équation de diffusion particulaire Loi de Fick … Effet collectif de 5000 marches aléatoires (cliquer pour voir/arrêter l'animation). La marche aléatoire est un modèle de base pour décrire les phénomènes de transport à l’échelle microscopique. Cette équation s’appelle équation de Poisson et lorsque est nul on retrouve l’équation de Laplace. \[N_{t}=n\,\sigma\,\overline{v_r}t\] \phi_{\text{entrant}} &=& j_{n}(x,t)\,S-j_{n}(x+\text{d}x,t)S \\ Considérons un système constitué de particules en mouvement et donc soumis à un courant de particules \(\overrightarrow{\jmath_{n}}(x,y,z,t)\) en tout point du système. Ainsi, \(\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{0}\) : le barycentre reste en O. Quant à \(\overrightarrow{f}(t)\), il désigne une composante aléatoire liée aux collisions avec les molécules qui maintient la particule en perpétuel mouvement.